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<!DOCTYPE html>

<title>Raum (Mathematik)</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Raum (Mathematik)</h1>

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Ein Raum ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> mathematischer <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">Objekte</a> mit einer Struktur. Diese kann auf den der abgebildeten Sache zugrundeliegenden Strukturen und/oder einer zusätzlichen <a href="Mathematische_Struktur" title="Mathematische Struktur">mathematischen Struktur</a> beruhen. Als zentrales Beispiel besteht ein <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> aus einer Menge von Objekten, genannt <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a>, die addiert oder mit einem <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalar</a> (etwa einer <a href="Zahl" title="Zahl">Zahl</a>) multipliziert werden können, sodass das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist und das <a href="Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">Assoziativ-</a> sowie die <a href="Distributivgesetz" title="Distributivgesetz">Distributivgesetze</a> gelten. Als mathematische Objekte können dabei beispielsweise <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle</a> oder <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe Zahlen</a>, <a href="Tupel" title="Tupel">Zahlentupel</a>, <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> oder <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> dienen.

Der Begriff „Raum“ hat sich in der Mathematik im Laufe der Zeit stark gewandelt. Während in der klassischen Mathematik unter Raum der <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">dreidimensionale Anschauungsraum</a> verstanden wird, dessen <a href="Geometrie" title="Geometrie">geometrische</a> Eigenschaften vollständig durch <a href="Axiom" title="Axiom">Axiome</a> definiert werden, sind Räume in der modernen Mathematik lediglich abstrakte mathematische Strukturen, die auf unterschiedlichen Konzepten des Begriffs der <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> basieren und deren Eigenschaften nicht vollständig durch Axiome definiert werden. Einen ähnlichen Wandel hat seit dem 20. Jahrhundert auch der Begriff des <a href="Raum_(Physik)" title="Raum (Physik)">Raumes in der Physik</a> erlebt.

Mathematische Räume lassen sich auf verschiedenen Ebenen klassifizieren, etwa nach Vergleichbarkeit, nach Unterscheidbarkeit und nach <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphie</a>. Räume bilden oft eine Hierarchie, das heißt, ein Raum erbt alle Eigenschaften eines übergeordneten Raums. Beispielsweise sind alle <a href="Pr%C3%A4hilbertraum" title="Prähilbertraum">Skalarprodukträume</a> auch <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierte Räume</a>, da das <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> eine <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a> (die <a href="Skalarproduktnorm" title="Skalarproduktnorm">Skalarproduktnorm</a>) auf dem Skalarproduktraum induziert.

Räume werden heute in fast allen Bereichen der Mathematik eingesetzt, so beschäftigt sich etwa die <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">lineare Algebra</a> mit Vektorräumen, die <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> mit <a href="Folgenraum" title="Folgenraum">Folgen-</a> und <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenräumen</a>, die <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> mit <a href="Affiner_Raum" title="Affiner Raum">affinen</a> und <a href="Projektiver_Raum" title="Projektiver Raum">projektiven</a> Räumen, die <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> mit <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen</a> und <a href="Uniformer_Raum" title="Uniformer Raum">uniformen</a> Räumen, die <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> mit <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischen</a> und normierten Räumen, die <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> mit <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a>, die <a href="Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">Maßtheorie</a> mit Mess- und Maßräumen und die <a href="Stochastik" title="Stochastik">Stochastik</a> mit <a href="Wahrscheinlichkeitsraum" title="Wahrscheinlichkeitsraum">Wahrscheinlichkeitsräumen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vor_dem_goldenen_Zeitalter_der_Geometrie">Vor dem goldenen Zeitalter der Geometrie</h3></div>

In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> des Altertums war der Begriff „Raum“ eine geometrische <a href="Abstraktion" title="Abstraktion">Abstraktion</a> des im täglichen Leben beobachtbaren <a href="3D" title="3D">dreidimensionalen Raums</a>. Seit <a href="Euklid" title="Euklid">Euklid</a> (etwa 300 v. Chr.) sind <a href="Axiom" title="Axiom">axiomatische</a> Methoden ein wichtiges Hilfsmittel der mathematischen Forschung. Durch <a href="Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a> wurden 1637 <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesische Koordinaten</a> eingeführt und damit die <a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">analytische Geometrie</a> begründet.<a href="#cite_note-EDM987-1">[1]</a> Zu dieser Zeit wurden geometrische <a href="Satz_(Mathematik)" title="Satz (Mathematik)">Lehrsätze</a> als absolute <a href="Wahrheit" title="Wahrheit">Wahrheit</a> angesehen, die durch <a href="Intuition" title="Intuition">Intuition</a> und <a href="Logik" title="Logik">logisches</a> Denken ähnlich wie die <a href="Physikalisches_Gesetz" title="Physikalisches Gesetz">Naturgesetze</a> erkannt werden konnten,<a href="#cite_note-BH11-2">[2]</a> und Axiome wurden als offensichtliche <a href="Schlussfolgerung" title="Schlussfolgerung">Folgerungen</a> der <a href="Definition" title="Definition">Definitionen</a> angesehen.<a href="#cite_note-BH15-3">[3]</a>

Zwischen <a href="Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">geometrischen Figuren</a> wurden zwei <a href="%C3%84quivalenzrelation" title="Äquivalenzrelation">Äquivalenzrelationen</a> verwendet: <a href="Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">Kongruenz</a> und <a href="%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">Ähnlichkeit</a>. <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Translationen</a>, <a href="Drehung" title="Drehung">Rotationen</a> und <a href="Spiegelung_(Geometrie)" title="Spiegelung (Geometrie)">Spiegelungen</a> bilden eine Figur in kongruente Figuren ab und <a href="Homothetie" class="mw-redirect" title="Homothetie">Homothetien</a> in ähnliche Figuren. Beispielsweise sind alle <a href="Kreis" title="Kreis">Kreise</a> zueinander ähnlich, <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipsen</a> zu Kreisen jedoch nicht. Eine dritte Äquivalenzrelation, die 1795 in der <a href="Projektive_Geometrie" title="Projektive Geometrie">projektiven Geometrie</a> durch <a href="Gaspard_Monge" title="Gaspard Monge">Gaspard Monge</a> eingeführt wurde, entspricht <a href="Projektive_Abbildung" title="Projektive Abbildung">projektiven Transformationen</a>. Unter solchen <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Transformationen</a> können nicht nur Ellipsen, sondern auch <a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabeln</a> und <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbeln</a> in Kreise abgebildet werden; im projektiven Sinn sind alle diese Figuren äquivalent.

Diese Bezüge zwischen der euklidischen und der projektiven Geometrie zeigen,<a href="#cite_note-BH133-4">[4]</a> dass <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">mathematische Objekte</a> nicht zusammen mit ihrer Struktur gegeben sind.<a href="#cite_note-BH21-5">[5]</a> Vielmehr beschreibt jede mathematische <a href="Theorie" title="Theorie">Theorie</a> ihre Objekte durch manche ihrer <a href="Eigenschaft" title="Eigenschaft">Eigenschaften</a>, und zwar genau diejenigen, die durch Axiome bei der Grundlage der Theorie formuliert wurden.<a href="#cite_note-BH20-6">[6]</a> <a href="Abstand" title="Abstand">Abstände</a> und <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> werden in den Axiomen der projektiven Geometrie nicht erwähnt, deshalb können sie in ihren Sätzen nicht auftauchen. Die Frage „was ist die Summe der drei Winkel eines <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecks</a>“ hat nur in der euklidischen Geometrie eine Bedeutung, in der projektiven Geometrie ist sie aber gegenstandslos.

Im 19. Jahrhundert trat eine neue Situation auf: in manchen Geometrien ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks wohldefiniert, aber unterschiedlich zum klassischen Wert (180 <a href="Grad_(Winkel)" title="Grad (Winkel)">Grad</a>). In der <a href="Nichteuklidische_Geometrie" title="Nichteuklidische Geometrie">nichteuklidischen</a> hyperbolischen Geometrie, die 1829 durch <a href="Nikolai_Iwanowitsch_Lobatschewski" title="Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski">Nikolai Lobatschewski</a> und 1832 durch <a href="J%C3%A1nos_Bolyai" title="János Bolyai">János Bolyai</a> (sowie, unpubliziert, 1816 durch <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a><a href="#cite_note-BH133-4">[4]</a>) eingeführt wurde, hängt diese Summe vom Dreieck ab und ist immer kleiner als 180 Grad. <a href="Eugenio_Beltrami" title="Eugenio Beltrami">Eugenio Beltrami</a> und <a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Felix Klein</a> leiteten 1868 bzw. 1871 euklidische Modelle der <a href="Hyperbolische_Geometrie" title="Hyperbolische Geometrie">hyperbolischen Geometrie</a> her, und rechtfertigten damit diese Theorie.<a href="#cite_note-BH24-7">[7]</a> Ein euklidisches Modell einer nichteuklidischen Geometrie ist eine geschickte Wahl von Objekten im euklidischen Raum und <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relationen</a> zwischen diesen Objekten, die alle Axiome und damit alle Sätze der nichteuklidischen Geometrie erfüllen. Die Beziehungen dieser ausgewählten Objekte des euklidischen Modells imitieren die nichteuklidischen Beziehungen. Dies zeigt, dass in der Mathematik die Beziehungen zwischen den Objekten, nicht die Objekte selbst, von essenzieller Bedeutung sind.

Diese Entdeckung erzwang die Abkehr vom Anspruch der absoluten Wahrheit der euklidischen Geometrie. Sie zeigte, dass die Axiome weder offensichtlich, noch Folgerungen von Definitionen sind; vielmehr sind sie <a href="Hypothese" title="Hypothese">Hypothesen</a>. Die wichtige physikalische Fragestellung, inwieweit diese der experimentellen <a href="Realit%C3%A4t" title="Realität">Realität</a> entsprechen, hat nichts mehr mit Mathematik zu tun. Selbst wenn eine bestimmte Geometrie nicht mit der experimentellen Realität übereinstimmt, so bleiben ihre Sätze dennoch mathematische Wahrheiten.<a href="#cite_note-BH15-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_goldene_Zeitalter_und_danach">Das goldene Zeitalter und danach</h3></div>

<a href="Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a> nennt die Zeit zwischen 1795 (<a href="Darstellende_Geometrie" title="Darstellende Geometrie">deskriptive Geometrie</a> von Monge) und 1872 (<a href="Erlanger_Programm" title="Erlanger Programm">Erlanger Programm</a> von Klein) das „goldene Zeitalter der Geometrie“. Die analytische Geometrie hatte große Fortschritte gemacht und konnte erfolgreich Sätze der klassischen Geometrie durch Rechnungen über <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">Invarianten</a> von <a href="Gruppenoperation" title="Gruppenoperation">Transformationsgruppen</a> ersetzen.<a href="#cite_note-BH134-5-8">[8]</a> Seit dieser Zeit interessieren neue Sätze der klassischen Geometrie eher Amateure als professionelle Mathematiker.<a href="#cite_note-BH136-9">[9]</a> Dies bedeutet jedoch nicht, dass das Erbe der klassischen Geometrie verloren ging. Nach Bourbaki wurde „die klassische Geometrie in ihrer Rolle als autonome und lebendige Wissenschaft überholt und in der Folge in eine universelle Sprache der zeitgenössischen Mathematik umgewandelt“.<a href="#cite_note-BH138-10">[10]</a>

<a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> erklärte 1854 in seinem berühmten Habilitationsvortrag, dass jedes mathematische Objekt, das durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahlen</a> parametrisiert werden kann, als <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen Raum aller solchen Objekte angesehen werden kann.<a href="#cite_note-BH140-11">[11]</a> Heutzutage folgen Mathematiker routinemäßig dieser Idee und finden es sehr suggestiv, die Terminologie der klassischen Geometrie nahezu überall weiterzuverwenden.<a href="#cite_note-BH138-10">[10]</a> Nach <a href="Hermann_Hankel" title="Hermann Hankel">Hermann Hankel</a> (1867) soll man, um die <a href="Allgemeing%C3%BCltigkeit" title="Allgemeingültigkeit">Allgemeingültigkeit</a> dieses Ansatzes vollständig zu würdigen, die Mathematik als „reine Theorie der Formen, deren Zweck nicht die Kombination von Größen oder ihrer Bilder, der Zahlen, sondern von Gedankenobjekten ist“ ansehen.<a href="#cite_note-BH21-5">[5]</a>

Ein Objekt, das durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen komplexen Raums betrachtet werden. Das gleiche Objekt kann jedoch auch durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2n}" loading="lazy">-dimensionalen Raum angesehen werden. Die komplexe <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> unterscheidet sich also von der reellen Dimension. Das Konzept von Dimension ist jedoch noch erheblich vielschichtiger. Das <a href="Algebra" title="Algebra">algebraische</a> Konzept von Dimension bezieht sich auf <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorräume</a>, das <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologische</a> Konzept von Dimension auf <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologische Räume</a>. Für <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrische Räume</a> gibt es auch die <a href="Hausdorff-Dimension" title="Hausdorff-Dimension">Hausdorff-Dimension</a>, die speziell für <a href="Fraktal" title="Fraktal">Fraktale</a> nicht-ganzzahlig sein kann. <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenräume</a> sind üblicherweise unendlichdimensional, wie bereits Riemann feststellte.<a href="#cite_note-BH141-12">[12]</a> Manche Räume, beispielsweise <a href="Ma%C3%9Fraum" title="Maßraum">Maßräume</a>, erlauben überhaupt kein Konzept einer Dimension.

Der ursprünglich von Euklid untersuchte Raum heißt heute dreidimensionaler <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischer Raum</a>. Seine <a href="Axiomatisierung" title="Axiomatisierung">Axiomatisierung</a>, begonnen von Euklid vor 23 Jahrhunderten, wurde im 20. Jahrhundert durch <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a>, <a href="Alfred_Tarski" title="Alfred Tarski">Alfred Tarski</a> und <a href="George_David_Birkhoff" title="George David Birkhoff">George Birkhoff</a> abgeschlossen. <a href="Hilberts_Axiomensystem_der_euklidischen_Geometrie" title="Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie">Hilberts Axiomensystem</a> beschreibt den Raum über nicht genauer definierte Primitive (wie „Punkt“, „zwischen“ oder „kongruent“), deren Eigenschaften durch eine Reihe von Axiomen eingegrenzt werden. Eine solche Definition von Grund auf ist heutzutage nur von geringem Nutzen, da sie nicht den Bezug dieses Raumes zu anderen Räumen aufzeigt. Der moderne Zugang definiert den dreidimensionalen euklidischen Raum eher algebraisch über Vektorräume und <a href="Quadratische_Form" title="Quadratische Form">quadratische Formen</a> als <a href="Affiner_Raum" title="Affiner Raum">affinen Raum</a>, dessen Differenzraum ein dreidimensionaler <a href="Pr%C3%A4hilbertraum" title="Prähilbertraum">Skalarproduktraum</a> ist.

Ein Raum besteht heute aus ausgewählten mathematischen Objekten (beispielsweise Funktionen zwischen anderen Räumen, <a href="Unterraum" title="Unterraum">Teilräume</a> eines anderen Raums, oder auch nur den Elementen einer Menge), die als Punkte behandelt werden, sowie aus bestimmten Verknüpfungen zwischen diesen Punkten. Dies zeigt, dass Räume lediglich abstrakte mathematische Strukturen sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Systematik">Systematik</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klassifikation">Klassifikation</h3></div>

Räume können auf drei Ebenen klassifiziert werden. Nachdem jede mathematische Theorie ihre Objekte lediglich durch manche ihrer Eigenschaften definiert, ist die erste Frage, die man sich stellt: welche Eigenschaften?

Die höchste Ebene der Klassifikation unterscheidet Räume unterschiedlichen Typs. Beispielsweise sind euklidische und projektive Räume von unterschiedlichem Typ, nachdem der Abstand zweier Punkte in euklidischen Räumen definiert ist, in projektiven Räumen jedoch nicht. Als weiteres Beispiel ergibt die Frage „was ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks“ nur in einem euklidischen Raum, nicht aber in einem projektiven Raum einen Sinn. In nichteuklidischen Räumen ergibt diese Frage einen Sinn und wird nur anders beantwortet, was keine Unterscheidung auf höchster Ebene darstellt. Weiterhin ist die Unterscheidung zwischen einer euklidischen Ebene und einem dreidimensionalen euklidischen Raum keine Unterscheidung auf höchster Ebene, da die Frage „was ist die Dimension“ in beiden Fällen einen Sinn ergibt.<a href="#cite_note-BS-13">[13]</a>

Auf der zweiten Ebene der Klassifikation betrachtet man Antworten auf besonders wichtige Fragen, unter denjenigen, die auf der höchsten Ebene einen Sinn ergeben. Beispielsweise unterscheidet diese Ebene zwischen euklidischen und nichteuklidischen Räumen, zwischen endlichdimensionalen und unendlichdimensionalen Räumen, zwischen <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakten</a> und nichtkompakten Räumen usw.

Auf der dritten Ebene der Klassifikation werden Antworten auf unterschiedlichste Fragen, die auf der höchsten Ebene einen Sinn ergeben, betrachtet. Beispielsweise unterscheidet diese Ebene zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension, nicht aber zwischen einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums behandelt als zweidimensionaler euklidischer Raum und der Menge aller Paare reeller Zahlen ebenfalls behandelt als zweidimensionaler euklidischer Raum. Ebenso unterscheidet sie nicht zwischen verschiedenen euklidischen Modellen des gleichen nichteuklidischen Raums. Formaler klassifiziert die dritte Ebene Räume bis auf Isomorphie. Ein <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a> zwischen zwei Räumen ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten des ersten Raums und den Punkten des zweiten Raums, die alle Beziehungen zwischen den Punkten erhält. Wechselseitig isomorphe Räume werden als Kopien desselben Raums angesehen.

Der Begriff des Isomorphismus wirft Licht auf die höchste Ebene der Klassifikation. Ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen zwei Räumen desselben Typs gegeben, dann kann man fragen, ob es sich um einen Isomorphismus handelt oder nicht. Diese Frage ergibt keinen Sinn für Räume unterschiedlichen Typs. Isomorphismen eines Raums auf sich selbst werden <a href="Automorphismus" title="Automorphismus">Automorphismen</a> genannt. Automorphismen eines euklidischen Raums sind Verschiebungen und Spiegelungen. Der euklidische Raum ist <a href="Homogener_Raum" title="Homogener Raum">homogen</a> in dem Sinne, dass jeder Punkt des Raums durch einen bestimmten Automorphismus in jeden anderen Punkt des Raums transformiert werden kann.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beziehungen_zwischen_Räumen">Beziehungen zwischen Räumen</h3></div>

Topologische Begriffe (wie <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a>, <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenz</a> und <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offene</a> oder <a href="Abgeschlossene_Menge" title="Abgeschlossene Menge">abgeschlossene Mengen</a>) sind auf natürliche Weise in jedem euklidischen Raum definiert. Mit anderen Worten ist jeder euklidische Raum auch ein topologischer Raum. Jeder Isomorphismus zwischen zwei euklidischen Räumen ist auch ein Isomorphismus zwischen den beiden topologischen Räumen (genannt <a href="Hom%C3%B6omorphismus" title="Homöomorphismus">Homöomorphismus</a>), die umgekehrte Richtung ist aber falsch: ein Homöomorphismus kann Abstände deformieren. Nach Bourbaki ist die Struktur „topologischer Raum“ eine zugrunde liegende Struktur von „euklidischer Raum“.<a href="#cite_note-BS-13">[13]</a>

Die euklidischen Axiome lassen keine <a href="Freiheitsgrade" class="mw-redirect" title="Freiheitsgrade">Freiheitsgrade</a> über, sie bestimmen eindeutig alle geometrischen Eigenschaften des Raumes. Genauer gesagt sind alle dreidimensionalen euklidischen Räume wechselseitig isomorph. In diesem Sinne gibt es „den“ dreidimensionalen euklidischen Raum. Nach Bourbaki ist die entsprechende Theorie univalent. Im Gegensatz dazu sind topologische Räume generell nicht isomorph und ihre Theorie ist multivalent. Nach Bourbaki ist das Studium multivalenter Theorien das wichtigste Merkmal, das die <a href="Geschichte_der_Mathematik#Moderne_Mathematik" title="Geschichte der Mathematik">moderne Mathematik</a> von der klassischen Mathematik unterscheidet.<a href="#cite_note-BSr385-14">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wichtige_Räume">Wichtige Räume</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vektorräume_und_topologische_Räume">Vektorräume und topologische Räume</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> und <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">Topologischer Raum</a></div>

Vektorräume sind <a href="Algebra" title="Algebra">algebraischer</a> Natur; es gibt reelle Vektorräume (über dem <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>), komplexe Vektorräume (über dem Körper der <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a>) und allgemeine Vektorräume über einem beliebigen Körper. Jeder komplexe Vektorraum ist auch ein reeller Vektorraum, letzterer Raum liegt also ersteren zugrunde, da jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist.<a href="#cite_note-15">[15]</a> <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">Lineare Operationen</a>, die in einem Vektorraum per definitionem gegeben sind, führen zu Begriffen wie <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a> (auch <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> und andere <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorräume</a>), <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">Parallele</a> und <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> (auch <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoid</a>). <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">Orthogonale</a> Geraden können jedoch nicht definiert werden und Kreise können unter den Ellipsen nicht ausgesondert werden. Die <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> eines Vektorraums ist als die maximale Zahl <a href="Linear_unabh%C3%A4ngig" class="mw-redirect" title="Linear unabhängig">linear unabhängiger</a> Vektoren oder, äquivalent dazu, als die minimale Zahl von Vektoren, die den Raum <a href="Lineare_H%C3%BClle" title="Lineare Hülle">aufspannen</a>, definiert; sie kann endlich oder unendlich sein. Zwei Vektorräume über demselben Körper sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben.

Topologische Räume sind <a href="Analysis" title="Analysis">analytischer</a> Natur. <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">Offene Mengen</a>, die in topologischen Räumen per definitionem gegeben sind, führen zu Begriffen wie <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a>, <a href="Weg_(Mathematik)" title="Weg (Mathematik)">Weg</a>, <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a>, <a href="Innerer_Punkt" title="Innerer Punkt">Inneres</a>, <a href="Rand_(Topologie)" title="Rand (Topologie)">Rand</a> und Äußeres. Jedoch bleiben Begriffe wie <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit" title="Gleichmäßige Stetigkeit">gleichmäßige Stetigkeit</a>, <a href="Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">Beschränktheit</a>, <a href="Cauchy-Folge" title="Cauchy-Folge">Cauchy-Folge</a> oder <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">Differenzierbarkeit</a> undefiniert. <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismen</a> zwischen topologischen Räumen werden traditionell <a href="Hom%C3%B6omorphismus" title="Homöomorphismus">Homöomorphismen</a> genannt; sie sind Eins-zu-Eins-Korrespondenzen in beide Richtungen. Das <a href="Offenes_Intervall" class="mw-redirect" title="Offenes Intervall">offene Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)}" loading="lazy"> ist homöomorph zur reellen <a href="Zahlengerade" title="Zahlengerade">Zahlengerade</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\infty ,\infty )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\infty ,\infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c8c11c44279888c9e395eeb5f45d121348ae10a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.299ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\infty ,\infty )}" loading="lazy">, aber nicht homöomorph zum <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">geschlossenen Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> oder zu einem Kreis. Die Oberfläche eines <a href="W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfels</a> ist homöomorph zu einer <a href="Sph%C3%A4re_(Mathematik)" title="Sphäre (Mathematik)">Sphäre</a>, aber nicht homöomorph zu einem <a href="Torus" title="Torus">Torus</a>. Euklidische Räume unterschiedlicher Dimension sind nicht homöomorph, was einleuchtend aber schwierig zu beweisen ist.

Die Dimension eines topologischen Raums ist nicht leicht zu definieren; es werden die <a href="Induktive_Dimension" title="Induktive Dimension">induktive Dimension</a> und die <a href="Lebesgue%E2%80%99sche_%C3%9Cberdeckungsdimension" class="mw-redirect" title="Lebesgue’sche Überdeckungsdimension">Lebesgue’sche Überdeckungsdimension</a> verwendet. Jede <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> eines topologischen Raums ist selbst ein topologischer Raum (im Gegensatz dazu sind nur lineare Unterräume eines Vektorraums auch Vektorräume). Beliebige topologische Räume, die in der <a href="Mengentheoretische_Topologie" class="mw-redirect" title="Mengentheoretische Topologie">mengentheoretischen Topologie</a> untersucht werden, sind für eine vollständige Klassifikation zu divers, sie sind im Allgemeinen inhomogen. Kompakte topologische Räume sind eine wichtige Klasse topologischer Räume, in denen jede stetige Funktion <a href="Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">beschränkt</a> ist. Das geschlossene Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> und die erweiterte reelle Zahlengerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e13233867b861889693a36843d98e51d90d38f9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.783ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}" loading="lazy"> sind kompakt; das offene Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)}</annotation>

</semantics>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\infty ,\infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c8c11c44279888c9e395eeb5f45d121348ae10a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.299ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\infty ,\infty )}" loading="lazy"> sind dies nicht. Die <a href="Geometrische_Topologie" title="Geometrische Topologie">geometrische Topologie</a> untersucht <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a>; dies sind topologische Räume, die lokal homöomorph zu euklidischen Räumen sind. Niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten sind bis auf Homöomorphie vollständig klassifiziert.

Die beiden Strukturen Vektorraum und topologischer Raum liegen der Struktur des <a href="Topologischer_Vektorraum" title="Topologischer Vektorraum">topologischen Vektorraums</a> zugrunde. Das heißt, ein topologischer Vektorraum ist sowohl ein reeller oder komplexer Vektorraum, als auch ein (sogar homogener) topologischer Raum. Jedoch sind beliebige Kombinationen dieser beiden Strukturen im Allgemeinen keine topologischen Vektorräume; die beiden Strukturen müssen konform sein, das heißt, die linearen Operationen müssen stetig sein.

Jeder endlichdimensionale reelle oder komplexe Vektorraum ist ein topologischer Vektorraum in dem Sinne, dass er genau eine Topologie trägt, die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht. Die beiden Strukturen „endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum“ und „endlichdimensionaler topologischer Vektorraum“ sind demnach äquivalent, liegen sich also gegenseitig zugrunde. Entsprechend ist jede <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">invertierbare</a> lineare Transformation eines endlichdimensionalen topologischen Vektorraums ein Homöomorphismus. In unendlicher Dimension sind jedoch zu einer gegebenen linearen Struktur verschiedene Topologien konform und invertierbare lineare Transformationen sind im Allgemeinen keine Homöomorphismen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Affine_und_projektive_Räume">Affine und projektive Räume</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Affiner_Raum" title="Affiner Raum">Affiner Raum</a> und <a href="Projektiver_Raum" title="Projektiver Raum">Projektiver Raum</a></div>

Es ist günstig, affine und projektive Räume über Vektorräume wie folgt einzuführen. Ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionaler Untervektorraum eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30a29cfd35628469f9dbffea4804f5b422f3037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)}" loading="lazy">-dimensionalen Vektorraums ist selbst ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionaler Vektorraum und als solches nicht homogen: er enthält mit dem <a href="Nullpunkt" title="Nullpunkt">Ursprung</a> einen besonderen Punkt. Durch eine Verschiebung um einen nicht in diesem Untervektorraum liegenden Vektor erhält man einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen affinen Raum, der homogen ist. In den Worten von <a href="John_Baez" title="John Baez">John Baez</a> ist „ein affiner Raum ein Vektorraum, der seinen Ursprung vergessen hat“. Eine Gerade in einem affinen Raum ist, per definitionem, ihr Schnitt mit einem zweidimensionalen linearen Teilraum (einer Ebene durch den Ursprung) des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30a29cfd35628469f9dbffea4804f5b422f3037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)}" loading="lazy">-dimensionalen Vektorraums. Jeder Vektorraum ist auch ein affiner Raum.

Jeder Punkt eines affinen Raums ist sein Schnitt mit einem eindimensionalen Untervektorraum (einer Gerade durch den Ursprung) des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30a29cfd35628469f9dbffea4804f5b422f3037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)}" loading="lazy">-dimensionalen Vektorraums. Manche eindimensionalen Unterräume sind jedoch parallel zu dem affinen Raum, auf gewisse Weise schneiden sie sich im <a href="Unendlichkeit" title="Unendlichkeit">Unendlichen</a>. Die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30a29cfd35628469f9dbffea4804f5b422f3037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)}" loading="lazy">-dimensionalen Vektorraums ist, per definitionem, ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionaler projektiver Raum. Wählt man einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen affinen Raum wie zuvor, dann beobachtet man, dass der affine Raum als echte Teilmenge in den projektiven Raum eingebettet ist. Der projektive Raum selbst ist jedoch homogen. Eine Gerade in dem projektiven Raum entspricht, per definitionem, einem zweidimensionalen Untervektorraum des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30a29cfd35628469f9dbffea4804f5b422f3037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)}" loading="lazy">-dimensionalen Vektorraums.

Die auf diese Weise definierten affinen und projektiven Räume sind algebraischer Natur. Sie können reell, komplex oder allgemein über einem beliebigen Körper definiert sein. Jeder reelle (oder komplexe) affine oder projektive Raum ist auch ein topologischer Raum. Ein affiner Raum ist eine nicht-kompakte Mannigfaltigkeit, ein projektiver Raum ist eine kompakte Mannigfaltigkeit.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Metrische_und_uniforme_Räume">Metrische und uniforme Räume</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">Metrischer Raum</a> und <a href="Uniformer_Raum" title="Uniformer Raum">Uniformer Raum</a></div>

In einem metrischen Raum werden <a href="Abstand" title="Abstand">Abstände</a> zwischen Punkten definiert. Jeder metrische Raum ist auch ein topologischer Raum. In einem metrischen Raum (aber nicht direkt in einem topologischen Raum) sind beschränkte Mengen und Cauchy-Folgen definiert. Isomorphismen zwischen metrischen Räumen heißen <a href="Isometrie" title="Isometrie">Isometrien</a>. Ein metrischer Raum heißt <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständig</a>, falls alle Cauchy-Folgen konvergieren. Jeder nicht vollständige Raum ist isometrisch in seine Vervollständigung eingebettet. Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig; die reelle Zahlengerade ist nicht kompakt aber vollständig; das offene Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)}" loading="lazy"> ist nicht vollständig.

Ein topologischer Raum heißt <a href="Metrisierbarer_Raum" title="Metrisierbarer Raum">metrisierbar</a>, falls er einem metrischen Raum zugrunde liegt. Alle Mannigfaltigkeiten sind metrisierbar. Jeder euklidische Raum ist auch ein vollständiger metrischer Raum. Zudem können alle geometrischen Begriffe, die für einen euklidischen Raum wesentlich sind, über seine Metrik definiert werden. Beispielsweise besteht die <a href="Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Strecke</a> zwischen zwei Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> aus allen Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">, sodass der Abstand zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> gleich der Summe der Abstände zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> ist.

Uniforme Räume erlauben es zwar nicht Abstände einzuführen, aber trotzdem Begriffe wie gleichmäßige Stetigkeit, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit und Vervollständigung zu definieren. Jeder uniforme Raum ist auch ein topologischer Raum. Jeder topologische Vektorraum (egal ob metrisierbar oder nicht) ist auch ein uniformer Raum. Allgemeiner ist jede <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">kommutative</a> <a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Gruppe</a> ein uniformer Raum. Eine nichtkommutative topologische Gruppe trägt jedoch zwei uniforme Strukturen, eine links-invariante und eine rechts-invariante. Topologische Vektorräume sind in endlichen Dimensionen vollständig, in unendlichen Dimensionen im Allgemeinen aber nicht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normierte_Räume_und_Skalarprodukträume">Normierte Räume und Skalarprodukträume</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">Normierter Raum</a> und <a href="Skalarproduktraum" class="mw-redirect" title="Skalarproduktraum">Skalarproduktraum</a></div>

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen Vektorraum, aber jeder Vektor besitzt auch eine <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik)">Länge</a>, in anderen Worten eine <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a>. Ein reeller oder komplexer Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum. Jeder normierte Raum ist sowohl ein topologischer Vektorraum als auch ein metrischer Raum. Die Menge der Vektoren mit Norm kleiner als eins wird <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> des normierten Raums genannt. Sie ist eine <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexe</a> und <a href="Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">zentralsymmetrische</a> Menge, im Allgemeinen aber kein Ellipsoid, beispielsweise kann sie auch ein konvexer <a href="Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> sein. Die <a href="Parallelogrammgleichung" title="Parallelogrammgleichung">Parallelogrammgleichung</a> ist in normierten Räumen im Allgemeinen nicht erfüllt, sie gilt aber für Vektoren in euklidischen Räumen, was daraus folgt, dass das Quadrat der euklidischen Norm eines Vektors dem Skalarprodukt mit sich selbst entspricht. Ein <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a> ist ein vollständiger normierter Raum. Viele <a href="Folgenraum" title="Folgenraum">Folgen-</a> oder <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenräume</a> sind unendlichdimensionale Banachräume.

Ein Skalarproduktraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, der mit einer <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">Bilinear-</a> oder <a href="Sesquilinearform" title="Sesquilinearform">Sesquilinearform</a> ausgestattet ist, die gewisse Bedingungen erfüllen muss und demnach <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> genannt wird. In einem Skalarproduktraum sind auch <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> zwischen Vektoren definiert. Jeder Skalarproduktraum ist auch ein normierter Raum. Ein normierter Raum liegt einem Skalarproduktraum genau dann zugrunde, wenn in ihm die Parallelogrammgleichung erfüllt ist oder, äquivalent dazu, wenn seine Einheitskugel ein Ellipsoid ist. Alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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</mrow>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen reellen Skalarprodukträume sind wechselseitig isomorph. Man kann sagen, dass der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionale euklidische Raum ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionaler reeller Skalarproduktraum ist, der seinen Ursprung vergessen hat. Ein <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> ist ein vollständiger Skalarproduktraum. Einige Folgen- und Funktionenräume sind unendlichdimensionale Hilberträume. Hilberträume sind für die <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> sehr wichtig.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Differenzierbare_und_Riemannsche_Mannigfaltigkeiten">Differenzierbare und Riemannsche Mannigfaltigkeiten</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Differenzierbare_Mannigfaltigkeit" title="Differenzierbare Mannigfaltigkeit">Differenzierbare Mannigfaltigkeit</a> und <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">Riemannsche Mannigfaltigkeit</a></div>

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten werden selten als Räume bezeichnet, können aber als solche aufgefasst werden. Glatte (differenzierbare) Funktionen, Kurven und <a href="Atlas_(Mathematik)" title="Atlas (Mathematik)">Karten</a>, die in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit per definitionem gegeben sind, führen zu <a href="Tangentialraum" title="Tangentialraum">Tangentialräumen</a>. Jede differenzierbare Mannigfaltigkeit ist eine (topologische) Mannigfaltigkeit. Glatte <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Flächen</a> in einem endlichdimensionalen Vektorraum, wie etwa die Oberfläche eines Ellipsoids, nicht aber die eines <a href="Polytop_(Geometrie)" title="Polytop (Geometrie)">Polytops</a>, sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Jede differenzierbare Mannigfaltigkeit kann in einen endlichdimensionalen Vektorraum eingebettet werden. Eine glatte Kurve in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hat an jedem Punkt einen Tangentialvektor, die zum Tangentialraum an diesem Punkt gehört. Der Tangentialraum einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionaler Vektorraum. Eine glatte Funktion besitzt an jedem Punkt ein <a href="Differential_(Mathematik)" title="Differential (Mathematik)">Differential</a>, also ein lineares <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a> auf dem Tangentialraum. Reelle oder komplexe endlichdimensionale Vektorräume, affine Räume und projektive Räume sind alles ebenfalls differenzierbare Mannigfaltigkeiten.

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein Riemannscher Raum ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, deren Tangentialraum mit einem <a href="Metrischer_Tensor" title="Metrischer Tensor">metrischen Tensor</a> ausgestattet ist. Euklidische Räume, glatte Flächen in euklidischen Räumen und hyperbolische nichteuklidische Räume sind auch Riemannsche Räume. Eine Kurve in einem Riemannschen Raum hat eine Länge. Ein Riemannscher Raum ist sowohl eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, als auch ein metrischer Raum, wobei der Abstand der Länge der kürzesten Kurve entspricht. Der Winkel zwischen zwei Kurven, die sich an einem Punkt schneiden, ist der Winkel zwischen ihren Tangentialvektoren. Verzichtet man auf die Positivität des Skalarprodukts auf dem Tangentialraum erhält man <a href="Pseudo-Riemannsche_Mannigfaltigkeit" class="mw-redirect" title="Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit">pseudo-riemannsche</a> (und insbesondere <a href="Lorentzsche_Mannigfaltigkeit" title="Lorentzsche Mannigfaltigkeit">lorentzsche</a>) Mannigfaltigkeiten, die wichtig für die <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeine Relativitätstheorie</a> sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Messräume,_Maßräume_und_Wahrscheinlichkeitsräume">Messräume, Maßräume und Wahrscheinlichkeitsräume</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">Maßtheorie</a> und <a href="Wahrscheinlichkeitsraum" title="Wahrscheinlichkeitsraum">Wahrscheinlichkeitsraum</a></div>

Verzichtet man auf Abstände und Winkel, behält jedoch das <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> geometrischer Körper bei, gelangt man in das Gebiet der Maßtheorie. Ein geometrischer Körper ist in der klassischen Mathematik sehr viel regulärer als einfach nur eine Menge von Punkten. Der Rand eines geometrischen Körpers hat das Volumen null, daher ist das Volumen des Körpers gleich dem Volumen seines Inneren, und das Innere kann durch eine unendliche Folge von Würfeln ausgeschöpft werden. Im Gegensatz dazu kann der Rand einer beliebigen Menge ein Volumen ungleich null besitzen, wie beispielsweise die Menge aller rationalen Punkte innerhalb eines gegebenen Würfels. Der Maßtheorie gelang es, den Begriff des Volumens (oder eines anderen Maßes) auf eine enorm große Klasse von Mengen auszudehnen, die sogenannten messbaren Mengen. In vielen Fällen ist es jedoch unmöglich, allen Mengen ein Maß zuzuordnen (siehe <a href="Ma%C3%9Fproblem" title="Maßproblem">Maßproblem</a>). Die messbaren Mengen bilden dabei eine <a href="%CE%A3-Algebra" title="Σ-Algebra">σ-Algebra</a>. Mit Hilfen von messbaren Mengen lassen sich <a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">messbare Funktionen</a> zwischen Messräumen definieren.

Um einen topologischen Raum zu einem <a href="Messraum_(Mathematik)" title="Messraum (Mathematik)">Messraum</a> zu machen, muss man ihn mit einer σ-Algebra ausstatten. Die σ-Algebra der <a href="Borel-Menge" class="mw-redirect" title="Borel-Menge">Borel-Mengen</a> ist die verbreitetste, aber nicht die einzige Wahl. Alternativ kann eine σ-Algebra auch durch eine gegebene Familie von Mengen oder Funktionen erzeugt werden, ohne irgendeine Topologie in Betracht zu ziehen. Häufig führen verschiedene Topologien zur gleichen σ-Algebra, wie beispielsweise die <a href="Normtopologie" title="Normtopologie">Normtopologie</a> und <a href="Schwache_Topologie" title="Schwache Topologie">schwache Topologie</a> auf einem <a href="Separabler_Raum" title="Separabler Raum">separablen</a> Hilbertraum. Jede Teilmenge eines Messraums ist selbst wieder ein Messraum. Standardmessräume, auch Standard-Borel-Räume genannt, sind besonders nützlich. Jede Borel-Menge, also insbesondere jede abgeschlossene und jede offene Menge in einem euklidischen Raum und allgemeiner in einem vollständigen separablen metrischen Raum (einem sog. <a href="Polnischer_Raum" title="Polnischer Raum">polnischen Raum</a>) ist ein Standardmessraum. Alle überabzählbaren Standardmessräume sind zueinander isomorph.

Ein Maßraum ist ein Messraum, der mit einem <a href="Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> versehen ist. Ein euklidischer Raum mit dem <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> ist beispielsweise ein Maßraum. In der <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrationstheorie</a> werden Integrierbarkeit und Integrale messbarer Funktionen auf Maßräumen definiert. Mengen vom Maß null werden <a href="Nullmenge" title="Nullmenge">Nullmengen</a> genannt. Nullmengen und Teilmengen von Nullmengen treten in Anwendungen oft als vernachlässigbare Ausnahmemengen in Erscheinung: Man spricht etwa davon, dass eine Eigenschaft <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a> gilt, wenn sie im <a href="Komplement_(Mengenlehre)" title="Komplement (Mengenlehre)">Komplement</a> einer Nullmenge gilt. Ein Maßraum, in dem alle Teilmengen von Nullmengen messbar sind, heißt <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Ma%C3%9Fraum" class="mw-redirect" title="Vollständiger Maßraum">vollständig</a>.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum, bei dem das Maß des ganzen Raums gleich 1 ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden für die verwendeten maßtheoretischen Begriffe meist eigene Bezeichnungen verwendet, die der Beschreibung von Zufallsexperimenten angepasst sind: Messbare Mengen werden <a href="Ereignis_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Ereignisse</a> und messbare Funktionen zwischen Wahrscheinlichkeitsräumen werden <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> genannt; ihre Integrale sind <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswerte</a>. Das Produkt einer endlichen oder unendlichen Familie von Wahrscheinlichkeitsräumen ist wieder ein Wahrscheinlichkeitsraum. Im Gegensatz dazu ist für allgemeine Maßräume nur das Produkt endlich vieler Räume definiert. Dementsprechend gibt es zahlreiche unendlichdimensionale Wahrscheinlichkeitsmaße, beispielsweise die <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a>, aber kein unendlichdimensionales Lebesgue-Maß.

Diese Räume sind weniger geometrisch. Insbesondere lässt sich die Idee der Dimension, wie sie in der einen oder anderen Form auf alle anderen Räume anwendbar ist, nicht auf Messräume, Maßräume und Wahrscheinlichkeitsräume anwenden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Kiyosi Itô: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Encyclopedic dictionary of mathematics</cite>. 2. Auflage. Mathematical society of Japan (Original), MIT press (engl. Übersetzung), 1993 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=Kiyosi+It%C3%B4&rft.btitle=Encyclopedic+dictionary+of+mathematics&rft.date=1993&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.pub=Mathematical+society+of+Japan+%28Original%29%2C+MIT+press+%28engl.+%C3%9Cbersetzung%29" style="display:none"> </li>

<li>Timothy Gowers, <a href="June_Barrow-Green" title="June Barrow-Green">June Barrow-Green</a>, Imre Leader: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The Princeton Companion to Mathematics</cite>. Princeton University Press, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=Timothy+Gowers%2C+June+Barrow-Green%2C+Imre+Leader&rft.btitle=The+Princeton+Companion+to+Mathematics&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9780691118802&rft.pub=Princeton+University+Press" style="display:none"> </li>

<li><a href="Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Elements of mathematics</cite>. Hermann (Original), Addison-Wesley (engl. Übersetzung) – (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=Nicolas+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+mathematics&rft.genre=book&rft.pub=Hermann+%28Original%29%2C+Addison-Wesley+%28engl.+%C3%9Cbersetzung%29" style="display:none"> </li>

<li>Nicolas Bourbaki: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. Masson (Original), Springer (engl. Übersetzung), 1994 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=Nicolas+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pub=Masson+%28Original%29%2C+Springer+%28engl.+%C3%9Cbersetzung%29" style="display:none"> </li>

<li>Nicolas Bourbaki: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Elements of mathematics: Theory of sets</cite>. Hermann (Original), Addison-Wesley (engl. Übersetzung), 1968 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=Nicolas+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+mathematics%3A+Theory+of+sets&rft.date=1968&rft.genre=book&rft.pub=Hermann+%28Original%29%2C+Addison-Wesley+%28engl.+%C3%9Cbersetzung%29" style="display:none"> </li>

<li><cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Space</cite>. In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/space">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.atitle=Space&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Space_(mathematics)?uselang=de">Commons: Raum</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-EDM987-1"><a href="#cite_ref-EDM987_1-0">↑</a> K. Itô: <cite style="font-style:italic">Encyclopedic dictionary of mathematics</cite>. 1993, S. 987.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=K.+It%C3%B4&rft.btitle=Encyclopedic+dictionary+of+mathematics&rft.date=1993&rft.genre=book&rft.pages=987" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH11-2"><a href="#cite_ref-BH11_2-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 11.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=11" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH15-3">↑ <a href="#cite_ref-BH15_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-BH15_3-1">b</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 15.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=15" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH133-4">↑ <a href="#cite_ref-BH133_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-BH133_4-1">b</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 133.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=133" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH21-5">↑ <a href="#cite_ref-BH21_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-BH21_5-1">b</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 21.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=21" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH20-6"><a href="#cite_ref-BH20_6-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 20.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=20" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH24-7"><a href="#cite_ref-BH24_7-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 24.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=24" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH134-5-8"><a href="#cite_ref-BH134-5_8-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 134–135.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=134-135" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH136-9"><a href="#cite_ref-BH136_9-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 136.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=136" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH138-10">↑ <a href="#cite_ref-BH138_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-BH138_10-1">b</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 138.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=138" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH140-11"><a href="#cite_ref-BH140_11-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 140.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=140" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BH141-12"><a href="#cite_ref-BH141_12-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of the history of mathematics</cite>. 1994, S. 141.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+the+history+of+mathematics&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.pages=141" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BS-13">↑ <a href="#cite_ref-BS_13-0">a</a> <a href="#cite_ref-BS_13-1">b</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of mathematics: Theory of sets</cite>. 1968, Kapitel IV.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.atitle=Kapitel+IV&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+mathematics%3A+Theory+of+sets&rft.date=1968&rft.genre=bookitem" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-BSr385-14"><a href="#cite_ref-BSr385_14-0">↑</a> N. Bourbaki: <cite style="font-style:italic">Elements of mathematics: Theory of sets</cite>. 1968, S. 385.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raum+%28Mathematik%29&rft.au=N.+Bourbaki&rft.btitle=Elements+of+mathematics%3A+Theory+of+sets&rft.date=1968&rft.genre=book&rft.pages=385" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Beispielsweise kann die <a href="Gau%C3%9Fsche_Zahlenebene" class="mw-redirect" title="Gaußsche Zahlenebene">Gaußsche Zahlenebene</a> behandelt als eindimensionaler Vektorraum zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum abgestuft werden. Im Gegensatz dazu kann die <a href="Zahlengerade" title="Zahlengerade">reelle Zahlengerade</a> zwar als eindimensionaler reeller Vektorraum, aber nicht als eindimensionaler komplexer Vektorraum behandelt werden. Siehe auch <a href="K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Körpererweiterung</a>.

</li>

</ol>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4124030-3">4124030-3</a> </div>

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